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%\handout{**COURSE/EVENT NAME**}{**DATE**}{**TITLE**}{**INSTRUCTOR/SPEAKER**}{**SCRIBE(S)**}
\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 2: 映照与势 }{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}

\section{映射}
前面我们已经述过一般集上的函数概念. 我们现在介绍比函数概念更一般的集之间的另一种关系——对应关系, 它是函数关系的推广. 

\begin{definition}
设 \(A, B\) 是两个非空集, 如果存在一个规则 \(\varphi\), 使得对于 \(A\) 中任何一个元素 \(x\), 按照规则 \(\varphi\), 在 \(B\) 中有一个确定的元素 \(y\) 与 \(x\) 对应\footnote{本课程中一般不讨论``多值''映射. }, 记为
\[
\varphi : x \mapsto y
\]
那么称这个规则 \(\varphi\) 是从 \(A\) 到 \(B\)(\textbf{中})的\textbf{映照}(也称为\textbf{映射}), 元素 \(y\) 称做元素 \(x\)(在映射 \(\varphi\) 下)的\textbf{像}, 记做 \(y=\varphi(x)\), 或 \(y=\varphi x\). 对于任一个固定的 \(y\), 称适合关系 \(y=\varphi(x)\) 的 \(x\) 全体为 \(y\)(在映射 \(\varphi\) 之下)的\textbf{原像}, 记为 \(\varphi^{-1}(y)\). 集 \(A\) 称做为映射 \(\varphi\) 的\textbf{定义域}, 记为 \(\mathscr{D}(\varphi)\) 或 \(\mathscr{D}_\varphi\). 设 \(C\) 是 \(A\) 的子集, \(C\) 中所有元素 \(x\) 的象 \(y\) 的全体记为 \(\varphi C\) 或 \(\varphi(C)\), 称它为集 \(C\) 的\textbf{像}, 称 \(\varphi(A)\) 为映射 \(\varphi\) 的\textbf{值域}, 常记为 \(\mathscr{R}(\varphi)\). 有时也常把从 \(\mathscr{D}(\varphi)=A\) 到 \(\mathscr{R}(\varphi)\subseteq B\) 的映射 \(\varphi\) 写成
\[
\varphi:A \rightarrow B
\]
如果 \(\varphi:A \rightarrow B, D \subseteq B\), 那么称集 \(\{x|\varphi(x) \in D, x \in \mathscr{R}(\varphi)\}\) 为 \(D\)(在映射 \(\varphi\) 之下)的\textbf{原像}, 记为 \(\varphi^{-1}(D)\). 
\end{definition}

如果 \(\varphi(A)=B\), 就称 \(\varphi\) 是 \(A\) 到 \(B\) \textbf{上}的映射, 又称为 \(A\) 到 \(B\) 的\textbf{满射}. 显然, 如果 \(\varphi\) 是 \(A\) 到 \(B\) 上的映射, 那么 \(\varphi\) 是 \(A\) 到 \(B\) 中的映射, 但其逆一般不真. 

特别地, 如果值域 \(B\) 是一数集(实数或复数集), 这时映射 \(\varphi\) 就是前面说的定义在集 \(A\) 上的函数. 如果 \(A, B\) 都是数集, 它们之间的映射就是数学分析中所研究的函数了. 由此可见, 映射概念实际就是函数概念的推广. 

映射是一个相当普通的概念, 除了普通的函数是一种映射而外, 其它的, 如定积分可以看作可积函数集到数集中的映射, 求导函数的运算(微分)可看作可微分函数集到函数集中的映射, 而线性变换就是 \(n\) 维向量空间到 \(n\) 维向量空间的映射；又如代数学中的同态映射、同构映射等. 从更广泛的意义上说, 任何一种运算也可以看作是映射. 事实上, 如实数的加法运算``$+$'', 就可视为平面点集到直线点集上的一个映射 \(\varphi:(a,b) \mapsto a+b\). 再看几个映射的具体例子. 

\begin{example}
设 \(A=(-\infty,\infty), B=(-\infty,\infty)\), 符号函数
\[
\operatorname{sign} x =
\begin{cases}
1, & x > 0 \\
0, & x = 0 \\
-1, & x < 0
\end{cases}
\]
是 \( A \) 到 \( B \) 中的映射. 
\end{example}

\begin{example}
设 \( A \) 是平面上所有圆组成的集合, \( B \) 是平面上所有点的全体, 令 \( \varphi \) 表示圆与其圆心之间的对应, \( \varphi \) 就是 \( A \) 到 \( B \) 上的映射. 
\end{example}

\begin{example}
设 \( D^2 \) 是直线上的二次可微函数全体, \( B \) 是直线上的函数全体, \( a, b, c \) 是常数, 定义 \( D^2 \) 到 \( B \) 中的一个映射 \( \varphi \) 如下: 
\[
\varphi: f(x) \mapsto a \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} f(x) + b \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(x) + cf(x), f \in D^2
\]
当 \( a \neq 0 \) 时称 \( \varphi \) 为二阶微分算子, 简记为 \( \varphi = a \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + b \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} + c \). 
\end{example}

\begin{example}
设 \(\mathbb E^n \) 是 \( n \) 维欧几里得空间, \(\mathbf K=(k_{ij}) \) 是给定的 \( n \) 阶方阵, 作 \(\mathbb E^n \) 到 \(\mathbb E^n \) 中的映射 \( \varphi \) 如下: 
\[
\varphi: x \mapsto\mathbf Kx, x \in\mathbb E^n
\]
其中 \( x = (x_1, \dots, x_n)^\mathsf T \), 又
\[
y = \varphi(x) =\mathbf Kx = \left( \sum_{j=1}^n k_{1j}x_j, \dots, \sum_{j=1}^n k_{nj}x_j \right)^\mathsf T
\]
\end{example}

\begin{example}
设 \( C[0, 1] \) 是区间 \( 0 \leq x \leq 1 \) 上所有连续函数全体, \(\mathbb E^1 \) 是直线 \(- \infty < x < \infty \), \( x_0 \) 是 \( [0, 1] \) 中的一个定点, 作映射
\[
\varphi: f \mapsto f(x_0), \quad f \in C[0, 1]
\]
则 \( \varphi \) 就是 \( C[0, 1] \) 到 \(\mathbb E^1 \) 上的映射. 
\end{example}

\section{映射的延拓}

映射和它的定义域有关. 在小范围有意义的映射, 在较大的范围内未必有意义. 

\begin{definition}
设 \( \varphi \), \( \psi \) 分别是定义域 \( \mathscr{D}_\varphi \), \( \mathscr{D}_\psi \) 到 \( B \) 中的映射, 如果 \( \mathscr{D}_\varphi \subseteq \mathscr{D}_\psi \), 而且对于 \( \mathscr{D}_\varphi \) 中的每个元素 \( x \) 成立着
\[
\psi(x) = \varphi(x)
\]
即 \(\psi\) 与 \(\varphi\) 在 \(\mathscr{D}_\varphi\) 上一致, 就称映射 \(\psi\) 是映射 \(\varphi\) 在 \(\mathscr{D}_\psi\) 上的\textbf{延拓}, 记成 \(\varphi \subseteq \psi\), 这时称 \(\varphi\) 是 \(\psi\) 在 \(\mathscr{D}_\varphi\) 上的\textbf{部分}或\textbf{限制}, 记为 \(\varphi = \psi|_{\mathscr{D}_\varphi}\). 
\end{definition}

\begin{example}
设 \(f(x) = \sin x, 0 \leq x \leq \pi\); 又设 \(g(x) = |\sin x|, -\infty < x < \infty\), 那么 \(g(x)\) 就是 \(f(x)\) 在 \((-\infty, \infty)\) 上的延拓, 即 \(f = g|_{[0,\pi]}\). 
\end{example}

\begin{example}
设 \(f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n, |z| < 1, g(z) = \frac{1}{1-z}, z \neq 1\). 解析函数 \(g(z)\) 就是 \(f(z)\) 的延拓. 
\end{example}

完全类似地可将复合函数的概念拓广, 定义 \(\varphi_1, \varphi_2\) 的复合映照概念如下: 

\begin{definition}
设 \(\varphi_1: A \longrightarrow B, \varphi_2: B \longrightarrow C\), 作 \(A\) 到 \(C\) 的映照 \(\varphi\) 如下, 对任何 \(x \in A, \varphi(x) = \varphi_2(\varphi_1(x))\), 称 \(\varphi\) 是 \(\varphi_1, \varphi_2\) 的\textbf{复合映照}, 记 \(\varphi\) 为 \(\varphi_2 \circ \varphi_1\). 
\end{definition}

\section{一一对应}

在各种映射之中, 我们要着重讨论一下一对一的映射. 

\begin{definition}
设 \(\varphi\) 是 \(A\) 到 \(B\) 中的映照, 若对每一个 \(y \in \mathscr{R}(\varphi), A\) 中只有一个元素 \(x\) 适合 \(\varphi(x) = y\), 就说 \(\varphi\) 是\textbf{可逆映照}或\textbf{一对一的映照}(又称为\textbf{单射}). 换言之, 对 \(A\) 中任意两个元素 \(x_1, x_2\), 当 \(x_1 \neq x_2\) 时, 必有 \(\varphi(x_1) \neq \varphi(x_2)\), 那么 \(\varphi\) 就是可逆映照. 
\end{definition}

例如 \((-\infty, \infty)\) 上的函数 \(\varphi(x) = \sin x, \psi(x) = x^2\) 都不是 \((-\infty, \infty)\) 到 \((-\infty, \infty)\) 中的可逆映射. 显然, 任何一个严格单调函数都可以看成它的定义域到值域中的可逆映射. 又如 \((0, 1]\) 上的函数
\[
g(x) =
\begin{cases}
x, & 0 < x < 1 \\
0, & x = 1
\end{cases}
\]
是 \((0, 1]\) 到 \([0, 1]\) 中的可逆映射. 

\begin{definition}
设 \(\varphi\) 是集 \(A\) 到集 \(B\) \textbf{上}的可逆映射, 则称 \(\varphi\) 为 \(A\) 到 \(B\) 的\textbf{一一对应}(或\textbf{双射}). 
\end{definition}

换句话说, \(\varphi\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的一一对应意味着对于 \(A\) 中任何一个元素 \(a\), 有唯一的 \(b = \varphi(a) \in B\), 而且对 \(B\) 中每个元素 \(b\), 必在 \(A\) 中有唯一的元素 \(a\), 适合 \(\varphi(a) = b\). 

例如上面的函数 \(g(x)\) 就只是 \((0,1]\) 到 \([0,1]\) 中的可逆映射, 而不是 \((0,1]\) 到 \([0,1]\) 的一一对应. 这是因为 \([0,1]\) 上的点 \(1\) 找不到原象. 但 \(g(x)\) 却是 \((0,1]\) 到 \([0,1)\) 的一一对应. 其实, \textbf{任何可逆映射 \(\varphi\) 一定是 \(\mathscr{D}(\varphi)\) 到 \(\mathscr{R}(\varphi)\) 的一一对应}. 

\begin{definition}
设 \(\varphi\) 为 \(A\) 到 \(B\) 的可逆映射: 
\[
\varphi: A = \mathscr{D}(\varphi) \longrightarrow \mathscr{R}(\varphi) \subseteq B
\]
我们作 \(\mathscr{R}(\varphi)\) 到 \(\mathscr{D}(\varphi)\) 的映射 \(\psi\) 如下: 如果
\[
\varphi: x \mapsto y, \quad x \in \mathscr{D}(\varphi), \quad y \in \mathscr{R}(\varphi)
\]
我们便令
\[
\psi: y \mapsto x
\]
由于 \(\varphi\) 是可逆的, 根据可逆映射的定义, 对于每一个 \(y\), 与它相应的 \(x\) 是唯一的, 因此 \(\psi\) 实现了从 \(\mathscr{R}(\varphi)\) 到 \(\mathscr{D}(\varphi)\) 上的映射, 我们称 \(\psi\) 为 \(\varphi\) 的\textbf{逆映射}, 记 \(\psi\) 为 \(\varphi^{-1}\): 
\[
\varphi^{-1}: \mathscr{R}(\varphi) \longrightarrow \mathscr{D}(\varphi)
\]
显然, 
\[
\mathscr{D}(\varphi^{-1}) = \mathscr{R}(\varphi), \quad \mathscr{R}(\varphi^{-1}) = \mathscr{D}(\varphi).
\]
因此可逆映射必有逆映射. 逆映射是反函数概念的拓广. 
\(\varphi\) 的逆映射用记号 \(\varphi^{-1}\), 在集 \(D\) 的原象 \(\varphi^{-1}(D)\) 中也出现记号 \(\varphi^{-1}\), 在今后发生混淆的地方, 我们将在行文中交待 \(\varphi^{-1}\) 记号的具体含义. 
\end{definition}

例如, 任何一个严格单调函数 \(f(x)\) 的反函数 \(f^{-1}(x)\) 可以看成映射 \(f(x)\) 的逆映射. 又如 \(A\) 是 \([0,1]\) 上具有连续导函数而且在 \(0\) 点其函数值为 \(0\) 的函数全体, \(\varphi\) 是求导函数这个映射, 即
\[
\varphi: f(x) \mapsto \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(x), \, f(x) \in A
\]
显然 \(\varphi\) 是 \(A\) 到 \(C[0,1]\) (见例5)的一一对应, 而其逆映射就是求不定积分
\[
\varphi^{-1}: g(x) \mapsto \int_{0}^{x} g(t)\mathrm  dt
\]

设 \(X\) 是一固定集, \(\mathscr M\) 是 \(X\) 的子集的全体, \(\mathscr{N}\) 是定义在 \(X\) 上的特征函数的全体, 作映射
\[
\varphi: A \mapsto \chi_A, \, A \subseteq X
\]
它就是 \(\mathscr M\) 到 \(\mathscr{N}\) 之间的一一对应. 

\begin{definition}
设 \(A\) 是一个集, 称集 \(A\) 到 \(A\) 上的映射
\[
\varphi: x \mapsto x
\]
是 \(A\) 上的\textbf{恒等映射}. 
\end{definition}

显然, 恒等映射是 \(A\) 到 \(A\) 的一一对应. 

\section{对等}

现在用一一对应来建立两个集的对等概念. 对等概念是建立势的理论的基础. 

\begin{definition}
设 \(A, B\) 是两个集, 如果存在一个 \(A\) 到 \(B\) 的一一对应 \(\varphi\), 那么称集 \(A\) 与集 \(B\) \textbf{对等}(或\textbf{相似}), 记为 \(A \stackrel{\varphi}{\sim} B\), 或简记为 \(A \sim B\). 规定空集 \(\varnothing\) 和自身对等. 
\end{definition}

例如, 奇数集 \(O = \{1,3,5,\dots,2n-1,\dots\}\), 偶数集 \(E = \{2,4,6,\dots,2n,\dots\}\), 自然数集 \(\mathbb N = \{1,2,3,\dots,n,\dots\}\). 显然 \(\varphi_1\colon n \mapsto 2n(n=1,2,\dots)\), \(\varphi_2\colon 2n \to 2n-1(n=1,2,\dots)\), \(\varphi_2 \circ \varphi_1\) 分别是 \(\mathbb N\) 到 \(E\), \(E\) 到 \(O\), \(\mathbb N\) 到 \(O\) 的一一对应, 因此它们彼此对等. 

显然, 对等关系``\(\sim\)''具有下面三个基本性质: 
\begin{enumerate}%[label=\arabic{*}\degree]
\item \(A \sim A\) \quad(自反性);
\item 若 \(A \sim B\), 则 \(B \sim A\)\quad (对称性);
\item 若 \(A \sim B, B \sim C\), 则 \(A \sim C\) \quad(传递性). 
\end{enumerate}
{\color{red}在进一步深究之前, 我们回顾一些代数学上的内容.

\begin{recall}
	对于集合$A$, $A$上的一个\textbf{等价关系}指的是$A\times A$的子集$\mathcal E$, 如果$(a,b)\in \mathcal E$, 我们把它写成$a\sim b$(称作$a$和$b$等价), 并且如下的性质成立:
	\begin{enumerate}
		\item (自反性) 对任意$a\in A$, $a\sim a$\quad(或者对于任意的$a\in A$, $(a,a)\in\mathcal E$);
		\item (对称性) 如果$a\sim b$, 那么, $b\sim a$\quad(或者如果$(a,b)\in\mathcal E$, 那么$(b,a)\in\mathcal E$);
		\item (传递性) 如果$a\sim b$, $b\sim c$, 那么, $a\sim c$\quad(或者如果$(a,b),(b,c)\in\mathcal E$, 那么, $(a,c)\in\mathcal E$).
	\end{enumerate}
	对任意群的$a\in A$, 令$\overline a$(或$[a]$) 表示
	\begin{align*}
		\overline a=[a]=\{b\in A\colon b\sim a\}\subseteq A.
	\end{align*}
	我们将这样的一个集合称作是$\sim$的一个等价类. 因为它是将互相等价的那些元素放到了一起. 那么$a\in [a]$; 如果$a\sim b$, 则$[a]=[b]$; 对于任意的$a,b\in A$, 要么$[a]=[b]$, 要么$[a]\cap [b]=\varnothing$. 所以, $\sim $的等价类构成了$A$的一个划分:
	\begin{align*}
		A=\coprod [a]
	\end{align*}
	
	反之, 假设$A=\coprod\limits_{i\in I}A_i$给出了$A$的一个划分, 那么, 对任意的$a,b\in A$, 我们规定$a\sim b$当且仅当存在某个$A_i$, 使得$a,b\in A_i$, 这显然给出了一个等价关系. 
	
	作为总结, 我们说给定集$A$上的一个等价关系等价于给出集$A$的一个划分.
\end{recall}}

由此可知, 对等是一种等价关系. 此外, 对等还有下面的一个性质, 虽非基本, 但很重要. 

\begin{property}\label{4d}
设 \(\{A_\lambda | \lambda \in \Lambda\}\), \(\{B_\lambda | \lambda \in \Lambda\}\) 为两族集, \(\Lambda\) 是指标集. 又设对每一个 \(\lambda \in \Lambda\), \(A_\lambda \sim B_\lambda\), 而且集族 \(\{A_\lambda\}\) 中任何两个集不相交, 即 \(A_\lambda \cap A_\mu = \varnothing (\lambda \neq \mu, \lambda, \mu \in \Lambda)\), \(\{B_\lambda\}\) 中任何两个集也不相交, 那么
\[
\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \sim \bigcup_{\lambda \in \Lambda} B_\lambda
\]
\end{property}
此性质读者不难自行证明. 

前面已经说过, 若 \(\varphi\) 是 \(A\) 到 \(B\) 中的可逆映射, \(\varphi\) 未必是 \(A\) 到 \(B\) 的一一对应, 但 \(\varphi\) 实现 \(A\) 到 \(\mathscr{R}(\varphi)\) 的一一对应. 因此 \(A\) 与 \(B\) 的子集 \(\mathscr{R}(\varphi)\) 对等. 欲判断两集对等, 常用下面的定理. 

\begin{theorem}[F. Bernstein, 1898]
设 \(A, B\) 是两个集, 如果 \(A\) 对等于 \(B\) 的一个子集, \(B\) 又对等于 \(A\) 的一个子集, 那么 \(A\) 与 \(B\) 对等. 
\end{theorem}

\begin{proof}
由假设, 存在 \(A\) 到 \(B\) 的某子集 \(B_1\) 上的一一对应 \(\varphi_1\), 又存在 \(B\) 到 \(A\) 的子集 \(A_1\) 上的一一对应 \(\varphi_2\), 因为 \(B_1 \subseteq B\), 记 \(A_2 = \varphi_2(B_1)\). 显然 \(\varphi_2\) 是 \(B_1\) 到 \(A_2\) 上的一一对应, 即
\[
A \stackrel{\varphi_1}{\sim} B_1\stackrel{\varphi_2}{\sim} A_2 \quad (A_2 \subseteq A_1)
\]

\begin{center}
\includegraphics{fig/Lec2_fig1} % 需要实际图片文件
\end{center}

显然 \(\varphi_1\) 和 \(\varphi_2\) 的复合映射 \(\varphi = \varphi_2 \circ \varphi_1\) 实现了 \(A\) 到 \(A_2\) 上的一一对应. 因为 \(A_1\) 是 \(A\) 的子集, \(A_3 = \varphi(A_1)\) 是 \(A_2\) 的子集:
\[A_1\stackrel{\varphi}{\sim} A_3, \quad (A_3 \subseteq A_2)
\]
照这样逐步进行下去, 我们得到一列的子集: 
\[
A \supseteq A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq \cdots \supseteq A_n \supseteq \cdots
\]
而在同一个映射 \(\varphi\) 之下, 有
\begin{align*}
	A \sim A_2 \sim A_4 \sim \cdots,\\
A_1 \sim A_3 \sim A_5 \sim \cdots.
\end{align*}
这样我们可以将 \(A\) 分解为一系列互不相交的子集之和: 
\begin{align*}
	A =& (A - A_1) \cup A_1 = (A - A_1) \cup (A_1 - A_2) \cup A_2\\
=& (A - A_1) \cup (A_1 - A_2) \cup (A_2 - A_3) \cup \cdots \cup D
\end{align*}

此处 \(D = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots\) 同样地有
\[
A_1 = (A_1 - A_2) \cup (A_2 - A_3) \cup (A_3 - A_4) \cup \cdots \cup D
\]
由于映射 \(\varphi\) 是一对一的, 容易看出
\begin{align*}
	A - A_1 &\stackrel{\varphi}{\sim} A_2 - A_3\\
	A_1 - A_2 &\stackrel{\varphi}{\sim} A_3 - A_4\\
	&\vdots\\
	A_n - A_{n+1} &\stackrel{\varphi}{\sim} A_{n+2} - A_{n+3}\\
	&\vdots
\end{align*}
显然, 我们可以将 \(A, A_1\) 的上述分解写成
\begin{center}
	\includegraphics{fig/Lec2_fig2}
\end{center}
由于
\[
A_{2n} - A_{2n+1} \overset{\varphi}{\sim} A_{2n+2} - A_{2n+3} (n = 0, 1, 2, \dots, A_0 = A),
\]
又因为集列 \(D, A_1 - A_2, \dots, A_{2n+1} - A_{2n+2}, \dots\), 中每个集都分别与自身对等. 根据性质\ref{4d}就得到 \(A \sim A_1\). 又因为 \(A_1 \sim B\), 所以 \(A \sim B\). 
\end{proof}
\section{势}

在集论中所讨论的集都是一般的, 并不考察集的进一步结构, 例如集中元素之间没有大小、没有距离、没有运算等可言, 最多可以讲两个元素间或是 \( x=y \), 或是 \( x \neq y \) 而已. 如果赋予集的元素之间以具体的结构, 那么所讨论的集与结构有关的性质已不再属于集论所讨论的对象了. 所以集论中最初的一个基本课题就是研究集的元素个数有多少的问题, 即势的理论. 

关于事物的多或少是很普通的概念, 例如, 假如有人问: 某班级的学生人数和某教室的凳子数是哪个多？这个问题很简单, 只要规定每个人可坐一只凳, 但最多只能坐一只凳子. 最后, 如果有学生坐不到凳子, 那么便是学生的人数多于凳子数；如果凳子有空, 那么便是凳子数多于学生人数；如果既没有学生坐不到凳子, 又没有凳子空下, 那么便是两者个数一样多. 这里之所以必能得出上面结论之一, 并且不管任何人来回答都必是相同的结论, 这是因为以经过每个学生坐一只凳子的过程所得的结果为依据的. 

更一般地, 我们就引入下面定义. 

\begin{definition}
设 \( A, B \) 是两个集. 
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item 如果 \( A \) 和 \( B \) 对等, 那么称 \( A \) 和 \( B \) 具有相同的\textbf{势}(或\textbf{基数}). 记集 \( A \) 的势为 \(\overline{\overline{A}}\), \( A \) 和 \( B \) 具有相同势时, 记为 \(\overline{\overline{A}} = \overline{\overline{B}}\)；
\item 如果 \( A \) 对等于 \( B \) 的某个子集 \( B_1 \), 那么称 \( A \) 的势小于或等于 \( B \) 的势, 或称 \( B \) 的势大于或等于 \( A \) 的势. 记为 \(\overline{\overline{A}} \leqslant \overline{\overline{B}}\), 或 \(\overline{\overline{B}} \geqslant \overline{\overline{A}}\)；如果 \(\overline{\overline{A}} \leqslant \overline{\overline{B}}\), 并且 \(\overline{\overline{A}} \neq \overline{\overline{B}}\), 那么称 \( A \) 的势小于 \( B \) 的势, 或 \( B \) 的势大于 \( A \) 的势. 记为 \(\overline{\overline{A}} < \overline{\overline{B}}\), 或 \(\overline{\overline{B}} > \overline{\overline{A}}\). 
\end{enumerate}
\end{definition}

势这个概念的直观背景就是元素的个数. 两个集 \( A \) 和 \( B \), 如果有相同的势(也简说成等势)就意味着集 \( A \) 和 \( B \) 的元素的个数是``一样多'', 势的大、小就意味着元素个数的``多、少''. 然而, 如果 \( A \supseteq B \), 并且 \( B \neq A \), 但这并不必然意味着 \(\overline{\overline{A}} > \overline{\overline{B}}\). 例如偶数集 \( E \) 虽然是自然数集 \(\mathbb N \) 的真子集, 然而因为 \( E \) 却能和 \( \mathbb N \) 对等, 所以 \(\overline{\overline{E}} = \overline{\overline{\mathbb N}}\). 

如果从势的观念来看贝恩斯坦定理, 那么它可改述如下: 

\begin{theorem}[F.Bernstein]
如果 \(\overline{\overline{A}} \leqslant \overline{\overline{B}}\), \(\overline{\overline{B}} \leqslant \overline{\overline{A}}\), 那么 \(\overline{\overline{A}} = \overline{\overline{B}}\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
因为 \(\overline{\overline{A}} \leqslant \overline{\overline{B}}\), 所以 \(A\) 与 \(B\) 的某个子集 \(B_1\) 对等. 又因为 \(\overline{\overline{B}} \leqslant \overline{\overline{A}}\), 所以 \(B\) 也与 \(A\) 的某个子集 \(A_1\) 对等. 根据前面的Bernstein定理, 必然 \(A\) 对等于 \(B\), 即 \(\overline{\overline{A}} = \overline{\overline{B}}\). 
\end{proof}

Bernstein定理在势的比较大、小问题中的地位, 相当于实数比较大、小中由 \(a \leq b\) 和 \(b \leq a\) 同时成立必有 \(a = b\) 这个事实. 任何两个实数是可以比较它们的大、小的(即实数有全序性). 很自然地会问: 任何两个集是否必定可以比较它们的势的大小, 对任何两个集 \(A, B\), 从逻辑上讲, 必然发生下面四种情况之一: 

\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item\label{1} \(A\) 可以对等于 \(B\) 的某个子集 \(B_1\), 而 \(B\) 永远不对等于 \(A\) 的任何一个子集；
\item\label{2} \(B\) 可以对等于 \(A\) 的某个子集 \(A_1\), 而 \(A\) 永远不对等于 \(B\) 的任何一个子集；
\item\label{3} \(B\) 可以对等于 \(A\) 的某个子集 \(A_1\), 而 \(A\) 也可以对等于 \(B\) 的某个子集 \(B_1\)；
\item\label{4} \(A\) 永远不对等于 \(B\) 的任何一个子集, \(B\) 也永远不对等于 \(A\) 的任何一个子集. 
\end{enumerate}

情况 \ref{1} 就是 \(\overline{\overline{A}} < \overline{\overline{B}}\), \ref{2} 就是 \(\overline{\overline{B}} < \overline{\overline{A}}\). 根据贝恩斯坦定理知道, 情况 \ref{3} 就是 \(\overline{\overline{A}} = \overline{\overline{B}}\). 因而如果有办法能证明情况 \ref{4} 决不出现, 那么任何两个集就可比较它们的势的大、小. 否则就有些集, 它们的势是不能比较大、小的. 至今还是无法证明 \ref{4} 一定不出现或者举出例子说明 \ref{4} 是会出现的. Zermelo 于 1908 年提出一条公理——选取公理, 依据这条公理就可以证明4. 不会出现. 从而任何两个集的势都是可以比较大、小的了. 

\section{有限集和无限集}

有限集的元素的多少是清楚的, 主要要讨论的是无限集的势. 但什么是有限集呢？还是有必要给有限集这个概念以严格的数学定义. 

\begin{definition}
设 \( n \) 是自然数, 令 \( M_n = \{1,2,\dots,n\} \). 如果集 \( A \) 能与某个 \( M_n \) 对等, 那么称 \( A \) 是\textbf{有限集}. 当 \( A \sim M_n \) 时, 称 \( n \) 为集 \( A \) 的\textbf{计数}. 规定空集为有限集, 并且它的计数规定为零. 
\end{definition}

下面给出有限集的特征并证明它的计数是唯一的. 

\begin{lemma}
集 \( M_n \) 与其任何真子集不对等. 
\end{lemma}

\begin{proof}
利用数学归纳法来证明这个引理. 

当 \( n=1 \) 时, 显然 \( M_1 \) 的真子集只能是空集, 故 \( M_1 \) 不与其真子集对等. 

设 \( k \) 为一自然数, 而且 \( M_k \) 不与其真子集对等. 今证 \( M_{k+1} \) 也不与其真子集对等就好了. 假若不然, 便有 \( M_{k+1} \) 到它的真子集 \( M^{\prime} \) 上的一一对应 \( \varphi \), 记 \( \varphi(k+1) = l \). 分三种情况来讨论. 
\begin{enumerate}
	\item\label{pf1} 若 \( l=k+1 \), 此时在 \( M_{k+1} \) 与 \( M^{\prime} \) 中都删去 \( k+1 \) 后分别得到集 \( M_k \) 与 \( M^{\prime\prime} \), \( \varphi \) 在 \( M_k \) 上的限制成为 \( M_k \) 到 \( M^{\prime\prime} \) 上的一一对应, 但 \( M^{\prime\prime} \subseteq M_k \), 而且 \( M_k \ne M^{\prime} \), 这与归纳法假设冲突.
	\item\label{pf2} 虽然 \( l \ne k+1 \), 但 \( k+1 \in M^{\prime} \). 此时设 \( k+1 = \varphi(m) \), 在 \( M_{k+1} \) 上作映射 \( \psi \) 如下: 
\[
\psi(v) =
\begin{cases}
\varphi(v), & v \ne m, k+1 \\
l, & v=m \\
k+1, & v=k+1
\end{cases}
\]
易知 \( \varphi \) 与 \( \psi \) 同为 \( M_{k+1} \) 到真子集 \( M^{\prime} \) 上的一一对应, 由于 \( \psi(k+1) = k+1 \), 即 \( \psi \) 适合情况 \ref{pf1}, 所以 \ref{pf2} 也是不可能的. 
	\item\label{pf3} 若 \( l \ne k+1 \), \( k+1 \notin M^{\prime} \). 此时从 \( M_{k+1} \) 中删去 \( k+1 \) 得到 \( M_k \), 再从 \( M^{\prime} \) 中删去 \( l \) 得到一个集 \( M^{\prime\prime} \). 显然可视为 \( M_k \) 到它的真子集 \( M^{\prime\prime} \) 的一一对应, 由归纳法假设, 这也不可能.
\end{enumerate}
总之, \( M_{k+1} \) 不能与其真子集对等. 
\end{proof}

\begin{corollary}
有限集决不与其真子集对等. 
\end{corollary}

由此可得

\begin{theorem}
有限集具有唯一的计数. 
\end{theorem}

\begin{proof}
对于空集, 定理显然成立. 设 \( A \) 为一非空有限集. 若 \( A \sim M_n \), 又 \( A \sim M_m \), 则 \( M_m \sim M_n \). 今证 \( m=n \). 用反证法, 若 \( m \neq n \), \( m,n \) 中必然一大一小, 不妨设 \( m<n \). 这就得到 \( M_n \) 与其真子集 \( M_m \) 对等, 由引理 1 知道这是不可能的. 所以 \( m=n \). 即任一非空有限集只可能和一个 \( M_n \) 对等. 
\end{proof}

由此可知, \textbf{两个有限集相互对等的充要条件是它们的计数相等}, 因而, 计数是所有相互对等的有限集的公共特征. 

规定有限集 \( A \) 的势为集 \( A\) 的计数, 即如果 \( A \sim M_n \), 那么规定 \(\overline{\overline{A}} = n\). 

我们称不是有限集的集为\textbf{无限集}. 

无限集是存在的, 例如自然数全体 \(\mathbb N \), 由于它能和它的真子集 \( E \)(偶数全体)对等, 所以不是有限集, 即 \(\mathbb N \) 是一无限集. 更一般地, 有下列定理. 

\begin{theorem}\label{thm1.2.2}
无限集必与它的一个真子集对等. 
\end{theorem}

\begin{proof}
先证明在任一无限集 \( A \) 中, 一定能取出一列互不相同的元素 \( a_1, a_2, \dots \). 事实上, 在 \( A \) 中任取一个元素, 记为 \( a_1 \). 因为 \( A \) 是无限集, 集 \( A-\{a_1\} \) 显然不空, 这时再从集 \( A-\{a_1\} \) 取一个元素 \( a_2 \), 同样, \( A-\{a_1, a_2\} \) 决不空. 可以继续做下去, 将从 \( A \) 中取出一列互不相同的元素 \( a_1, a_2, \dots \), 记余集为 \( \widehat{A}=A-\{a_n | n=1, 2, \dots \} \). 在 \( A \) 中取出一个真子集
\[
\{a_2, a_3, \dots \} \cup \widehat {A}=\widetilde A
\]
今作 \( A \) 与 \( \widetilde{A} \) 之间的映射 \( \varphi \): 
\begin{align*}
	\varphi(a_i) &= a_{i+1},\quad i=1,2,\dots\\
\varphi(x) &= x,\quad x \in \widehat{A}
\end{align*}

显然, \(\varphi\)是A到\(\widetilde{A}\)上的一一对应.
\end{proof}

改变一下定理2的叙述方式, 即得到

\begin{corollary}
凡不能与自己的任一真子集对等的集必是有限集. 
\end{corollary}

还可得到下面重要的推论. 

\begin{corollary}
集$A$是有限的充要条件是它不能和真子集对等；集$A$是无限的充要条件是能和真子集对等. 
\end{corollary}

下面要介绍最常见的两种无限集. 

\section{可列集及连续点集的势}

\begin{definition}
设N为自然数全体所成之集. 凡与集N对等的集称为\textbf{可列集}, 也称为\textbf{可数}无限集. 
\end{definition}

可列集是最``小''的无限集, 即任何无限集必含有一可列子集(从定理\ref{thm1.2.2}的证明中可以看出这一点). 如果$A$是可列集, \(\varphi\)是$\mathbb N$到$A$上的一一对应, 记
\[
a_n = \varphi(n)
\]
那么$A$中每一个元素就有了确定的编号, 因而成为序列: 
\[
a_1, a_2, \dots, a_n, \dots
\]
通常记可列集的势为\(\aleph_0\)(读作``阿列夫零''). 

\begin{example}
三角函数系: \(\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots, \cos nx, \sin nx, \dots\}\)是可列集. 
\end{example}

\begin{theorem}
可列集的任何子集, 若不是有限集必是可列集. 
\end{theorem}

\begin{proof}
设A为可列集, 它的元素编号如下: 
\[
a_1, a_2, \dots, a_n, \dots
\]
B是A的非空子集, B中元素显然是上述序列中的一个子序列
\[
a_{n_1}, a_{n_2}, \dots, a_{n_k}, \dots
\]
指标\(n_1, n_2, \dots, n_k, \dots\)之中, 如果有最大数, 那么B为一有限集, 否则 \( B \) 为一无限集, 当 \( B \) 是无限集时, 把 \( a_{n_k} \) 与自然数 \( k \) 对应就知道 \( B \) 是一可列集. 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm1.2.4}
有限个或可列个有限集或可列集的和集是有限集或可列集. 
\end{theorem}

\begin{proof}
不失一般性. 设有一列集 \( A_1, A_2, \dots, A_n, \dots \), 而其中每一个都是可列集: 
\begin{center}
	\includegraphics{fig/Lec2_fig3}
\end{center}
称 \( p + q = h \) 为元素 \( a_{pq} (p, q = 1, 2, \dots) \) 的高度, 按高度大小编号, 在同一高度中按 \( q \) 的值由小到大编号, 这样就可以把和集 \(\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty} A_n\) 中所有的元素编成一列(即上图箭头所指顺序): 
\[
a_{11}; a_{21}, a_{12}; a_{31}, a_{22}, a_{13}; \dots; a_{n1}, a_{n-1,2}, a_{n-2,3}, \dots, a_{1n}; \dots
\]
因为 \( A_i, A_j \) 可能有公共元素, 这些公共元素在和集中是同一元素, 在这一序列中去掉重复的元素后余集仍是可列的. 当 \( A_1, A_2, \dots \), 中有些是有限集, 或仅为有限个集 \( A_1, \dots, A_n \) 的情况, 也可以类似地讨论.
\end{proof}

\begin{example}\label{eg9}
平面上在直角坐标系下, 两坐标 \( x, y \) 均为整数的点 \((x, y)\)(称为格点)全体成一可列集. 

事实上, 对每个固定的整数 \( n \), \( A_n = \{(n, m)\colon m\,\text{是整数}\} \), 是一可列集. 显然, 全平面上的格点全体就是和集 \(\bigcup\limits_{n=-\infty}^{+\infty} A_n\), 这是可列个可列集之和, 因而是可列集. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg10}
有理数全体成一可列集. 

事实上, 有理数$r$可写成既约分数\( p/q\), 其中$ p, q $均为整数, 并规定\( q>0 \). 改变一下记号, 把既约分数\( p/q \)与平面上的格点\( (q, p) \)对应. 由定理\ref{thm1.2.4}知这种格点\( (q, p) \)的全体至多是可列集；又由于有理数全体是无限集, 所以有理数全体确是可列集. 
\end{example}

设$A$,$B$是两个非空集, 那么任取\( a \in A, b \in B \), 作成元素对\( (a, b) \), 这种元素对的全体所成的集称为A与B的乘积, 记为\( A \times B \). 例\ref{eg9}与例\ref{eg10}实际上说明: 当$A$,$B$是可列集时, 乘积\( A \times B \)是可列集. 同样可以证明下列定理. 

\begin{theorem}\label{thm1.2.5}
如果$A,B,\dots,C$是有限多个有限集或可列集, 那么, 乘积集
\[
A \times B \times \cdots \times C = \{(a, b, \dots, c) | a \in A, b \in B, \dots, c \in C\}
\]
是有限集或可列集. 
\end{theorem}

从这里得到下面一些重要的例. 

\begin{example}\label{eg11}
整系数多项式全体是可列集. 

事实上, 对于固定的自然数$n$, $n$次整系数多项式全体可以与\( n+1 \)个自然数集的乘积相等. 所以它是可列集, 从而各次整系数多项式全体是可列集. 
\end{example}

整系数多项式的实数根称为代数数. 这就是说, 设$x$是实数, 如果存在整数\( a_0, a_1, \dots, a_n, a_0 \neq 0 \), 使
\[
a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0
\]
就称$x$是代数数. 

\begin{example}\label{eg12}
代数数全体是可列集. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg13}
设A是直线上某些长度不为零的而且互不相交的区间所成的集(集合中的元素是区间), 则A是可列集或是有限集. 

事实上, 作集合到有理数集的映射\(\varphi\)如下: 当区间\( d \in A \)时, 由于$d$的长度不为零, 必有有理数属于$d$, 任意取定$d$中的有理数作为\(\varphi(d)\). 由于$A$中区间互不相交, 所以\(\varphi\)是$A$到有理数集的子集上的一一对应. 而有理数集是可列集, 所以$A$是有限集或可列集. 
\end{example}

\begin{theorem}\label{thm1.2.6}
设$A$是有限集或可列集, $B$是有无限集, 那么
\[
\overline{\overline{A \cup B}} = \overline{\overline{B}}
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
我们只需证明$A\cup B\sim B$就可以了. 因为$B$是无限集, 由定理\ref{thm1.2.2}, 存在一个可列子集$M\subseteq B$, 再由定理\ref{thm1.2.4}知道, 集$M\cup (A-B)$也是可列集, 即$(A-B)\cup M\stackrel\varphi\sim M$, 又由于$(B-M)\stackrel{\operatorname{id}}{\sim}(B-M)$, $(B-M)\cap(M\cup(A-B))=\varnothing$, 所以
\begin{center}
	\includegraphics{fig/Lec2_fig4}
\end{center}
\end{proof}
上述定理表明: 加任何一个有限集或可列集到一个无限集中时, 此无限集的势不会改变.

\begin{theorem}\label{thm1.2.7}
区间$(0,1]$是不可列集. 
\end{theorem}

\begin{proof}
用反证法. 假设$(0,1]$是可列集, 那么$(0,1]$中所有的实数可排成一列: 
\[
t_1, t_2, \dots, t_n, \dots
\]
将每个\( t_n \)写成十进位无限小数: 
\begin{align*}
t_1 &= 0. t_{11} t_{12} t_{13} \dots\\
t_2 &= 0. t_{21} t_{22} t_{23} \dots\\
&\vdots\\
t_n &= 0. t_{n1} t_{n2} t_{n3} \dots\\
&\vdots	
\end{align*}
现在作十进位小数
\[
a = 0. a_1 a_2 a_3 \dots
\]
其中 \( a_i \neq t_{i,i}, a_i \neq 0, i=1,2,\dots \), 这是办得到的. 因为对任意的 \( i \), 如 \( t_{i,i}=1 \), 令 \( a_i=2 \), 如 \( t_{i,i} \neq 1 \), 那么取 \( a_i=1 \) 就行了. 于是所作成的数 \( a \) 应该在区间 \((0,1]\) 中, 但不会在数列 \( t_1, t_2, \dots, t_n, \dots \) 中, 因为对于每个 \( n, a_n \neq t_{nn} \), 所以 \( a \neq t_n \). 这和 \(\{t_n\}\) 是区间 \((0,1]\) 中实数全体的假设相矛盾. 因此 \((0,1]\) 是不可列集.
\end{proof}

\begin{definition}
称 $0$ 与 $1$ 之间实数全体所成之集的势为\textbf{连续点集的势}. 这个势记作 \(\aleph\)(读作``阿列夫''), 或记作 \(\mathfrak{c}\). 
\end{definition}

\begin{theorem}\label{thm1.2.8}
实数全体的势为 \(\aleph\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
显然, \( (0,1) = \{x|0<x<1\} \) 和 \([0,1]\) 的势相同, 所以只要证明实数全体 \((-\infty, \infty)\) 和 \((0,1)\) 对等好了. 今作 \((0,1)\) 到 \((-\infty, \infty)\) 的映射 \(\varphi\): 
\[
\varphi(x) = \tan \left( \frac{2x-1}{2} \pi \right)
\]
显然这是 \((0,1)\) 到 \((-\infty, \infty)\) 的一一对应, 所以实数全体的势是 \(\aleph\).
\end{proof}

\begin{corollary}
无理数全体的势是 \(\aleph\). 
\end{corollary}

\begin{proof}
记无理数全体为 \( B \), 有理数全体为 \(\mathbb Q \), 由定理\ref{thm1.2.6} 得
\[
\overline{\overline{B}} = \overline{\overline{B \cup \mathbb Q}} = \overline{\overline{(-\infty, \infty)}} = \aleph
\]
\end{proof}

根据这个事实可以粗略地说, 无理数比起有理数来要多得多. 不是代数数的实数称为超越数. 类似地得到

\begin{corollary}
超越数全体的势为 \(\aleph\). 
\end{corollary}

这个事实不仅告诉了我们超越数是存在的, 而且还比代数数要多. 

在 Cantor 创立集论以前, 曾有好多数学家比较费力地证明超越数的存在(如Liouville, Hermite等最后才证明$\mathrm e$是超越数), 然而抽象集论的方法不仅肯定了超越数存在, 而且断定多得很. 可惜的是它不能给我们具体地指出那些数是超越数, 但尽管如此, 却并不因此而失去它的重要意义. 

\begin{theorem}\label{thm1.2.9}
实数列全体 \(\mathbb E^\infty \) 的势是 \(\aleph\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
记 $B$ 为 \(\mathbb E^\infty \) 中适合 \( 0 < x_n < 1 \), \( (n = 1, 2, \dots) \) 的点 \( \{x_1, x_2, \dots, x_n, \dots\} \) 的全体. 设 \( x \in B, x = \{x_1, x_2, \dots, x_n, \dots\} \), 其中 \( x_n \) 是实数. 作映射 \(\varphi\): 
\[
\varphi(x) = \left\{ \tan \left( \left(x_1 - \frac{1}{2}\right) \pi \right), \tan \left( \left(x_2 - \frac{1}{2}\right) \pi \right), \dots, \tan \left( \left(x_n - \frac{1}{2}\right) \pi \right), \dots \right\}
\]
显然, \(\varphi\) 是 $B$ 到 \(\mathbb E^\infty \) 的一一对应. 我们只须证明 $B$ 的势为 \(\aleph\). 事实上, 首先把 \((0, 1)\) 中任何 \( x \) 与 $B$ 中的点
\[
\widetilde{x} = \{x, x, x, \dots\}
\]
对应, 就知道 \((0, 1)\) 对等于 $B$ 的一个子集. 即 \(\overline{\overline{B}} \geqslant \overline{\overline{(0, 1)}} = \aleph\). 

反之, 对 $B$ 中的任何 \( x = \{x_1, x_2, \dots, x_n, \dots\} \), 按十进位无限小数表示 \( x_n \) 有
\begin{align*}
	x_1 &= 0. x_{11}x_{12}\cdots x_{1n}\cdots\\
x_2 &= 0. x_{21}x_{22}\cdots x_{2n}\cdots\\
&\vdots\\
x_n &= 0. x_{n1}x_{n2}\cdots x_{nn}\cdots\\
&\vdots
\end{align*}
由上述一列数 \( x = \{x_n\} \in\mathbb E^\infty \), 作一小数 \(\psi(x)\): 
\[
\psi(x) = 0. x_{11}x_{21}x_{12}\cdots x_{n1}x_{n-1,2}\cdots x_{1n}\cdots
\]
显然 \(\psi(x) \in (0, 1)\) 而且当 \( x \neq y \) 时, \(\psi(x) \neq \psi(y)\), 由映射 \(\psi\),$ B$ 也对等于 \((0, 1)\) 的一个子集, 从而 \(\overline{\overline{B}} \leqslant \overline{\overline{(0, 1)}} = \aleph\). 所以由 Bernstein 定理得到 \(\overline{\overline{B}} = \overline{\overline{(0, 1)}}\).
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm1.2.10}
$n$ 维欧几里得空间 \(\mathbb E^n \) 的势为 \(\aleph\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
如将 \(\mathbb E^n \) 中点 \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) 对应于 \(\mathbb E^\infty \) 中的点 \((x_1, x_2, \dots, x_n, 0, \dots, 0, \dots)\) 时, 就知道 \(\mathbb E^n \) 对等于 \(\mathbb E^\infty \) 的一个子集. 但是 \(\overline{\overline{\mathbb E^\infty}} = \overline{\overline{\mathbb E^1}}\), 所以 \(\mathbb E^\infty \sim\mathbb E^1\). 因此 \(\mathbb E^n \) 对等于 \(\mathbb E^1 \) 的子集. 如果再将 \(\mathbb E^1 \) 中点 \( x \) 对应于 \(\mathbb E^n \) 中点 \((x, 0, \dots, 0)\) 时, 又知道 \( \mathbb E^1 \) 对等于 \(\mathbb E^n \) 的一个子集. 所以由 Bernstein定理知道 \(\overline{\overline{\mathbb E^n}} = \overline{\overline{\mathbb E^1}} = \aleph\). 
\end{proof}

常用的是十进位小数, 本书中有几处要用到二进位及三进位的小数, 使用电子计算机时要用二进位、四进位、八进位等数. 下面我们来介绍 \( g \) 进位小数. 

\subsection{\( g \) 进位小数}

设 \( g \) 是任意取定的一个大于 1 的自然数, \(\{t_k\}\) 是一列小于 \( g \) 而大于或等于 $0$ 的整数, 称级数
\[
\frac{t_1}{g} + \frac{t_2}{g^2} + \cdots + \frac{t_k}{g^k} + \cdots
\]
为 \textbf{\( g \) 进位小数}. 常简记成
\[
0. t_1 t_2 \cdots t_k \cdots.
\]

若在一个 \( g \) 进位小数中, 从某一项以后 \( t_k \) 全为 $0$, 则称为 \( g \) 进位有限小数, 否则, 称为 \( g \) 进位无限小数. 

我们知道, $(0, 1]$ 中任何实数可以唯一地表示为 \( g(g>1) \) 进位无限小数. 我们有下面的

\begin{lemma}\label{lemma2}
如果把 $(0,1]$ 中的实数表示成 \( g(g>1) \) 进位无限小数记 \( g \) 进位无限小数全体为 \( A \), 那么这个表示成为 $(0,1]$ 到 \( A \) 的一一对应. 
\end{lemma}

\begin{corollary}\label{lemma2-coro}
\( g(g>1) \) 进位无限小数全体的势为 \( \aleph \). \( g \) 进位小数全体的势也是 \( \aleph \). 
\end{corollary}

\begin{proof}
由于 \( g \) 进位有限小数全体是可列集, 由定理\ref{thm1.2.6} , \( g \) 进位小数全体的势与 \( g \) 进位无限小数全体的势相同. 再由引理\ref{lemma2} , 它们的势都是 $(0,1]$ 的势 \( \aleph \).
\end{proof}

现在我们来讨论在数学分析中重要的函数族的势. 

\begin{theorem}\label{thm1.2.11}
\([a, b]\) 上的连续函数全体 \( C[a, b] \) 的势是 \( \aleph \). 
\end{theorem}

\begin{proof}
由于常数函数属于 \(C[a,b]\), 常数函数的全体 \(K\) 的势是 \(\aleph\). 由于 \(\mathbb E^\infty\) 的势是 \(\aleph\), 所以 \(\mathbb E^\infty\) 与 \(C[a,b]\) 的子集 \(K\) 对等. 根据 Bernstein 定理, 只要证明 \(C[a,b]\) 与 \(\mathbb E^\infty\) 的一子集对等. 

我们把 \([a,b]\) 中的有理数全体排成一列, 记为 \(r_1,r_2,\dots\), 任何一个连续函数 \(f(x)\), 由它在 \(r_1,r_2,\dots,r_n,\dots\) 上的值 \(f(r_1),f(r_2),\dots,f(r_n),\dots\) 完全决定. 事实上, 因为对于任何 \(x \in [a,b]\), 存在上述有理数列的子数列 \(r_{n_\nu} \to x (\nu \to \infty)\). 由于 \(f\) 的连续性, \(f(x) = \lim\limits_{\nu \to \infty} f(r_{n_\nu})\). 因此 \(C[a,b]\) 到 \(\mathbb E^\infty\) 中的映射
\[
\varphi: f \mapsto (f(r_1),f(r_2),\dots,f(r_n),\dots)
\]
是可逆的, 即 \(C[a,b]\) 和 \(\mathbb E^\infty\) 的一个子集 \(\varphi(C[a,b])\) 对等. 
\end{proof}

但是应该注意, 对于 \([a,b]\) 上所有实值函数全体所成的集 \(\mathbb R[a,b]\), 虽然 \(\mathbb R[a,b]\) 有许多子集(如 \(C[a,b]\)) 与 \([0,1]\) 对等, 但是 \(\mathbb R[a,b]\) 并不能与 \([0,1]\) 对等.

\begin{theorem}\label{thm1.2.12}
\begin{enumerate}
	\item 设 \(M\) 是由两个元素 \(p,q(p \neq q)\) 作成的元素列全体, 那么 \(M\) 的势为 \(\aleph\).
	\item 如果 \(Q\) 是可列集, 那么 \(Q\) 的子集全体所成之集 \(S\) 的势为 \(\aleph\).
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
	\item 作 \(M\) 到二进位小数全体 \(B\) 的映射 \(\varphi\) 如下: 任取 \(b=\{b_n\} \in M\), 作二进位小数 \(\varphi(b)=0.t_1t_2\cdots t_n\cdots\), 其中当 \(b_n=p\) 时 \(t_n=0\), 而 \(b_n=q\) 时 \(t_n=1\). 容易看出 \(\varphi\) 是 \(M\) 到 \(B\) 的一一对应. 根据推论\ref{lemma2-coro} , \(B\) 的势是 \(\aleph\). 因此, \(M\) 的势是 \(\aleph\). 
	\item 作 \(S\) 到二进位小数全体 \(B\) 的映射 \(\psi\) 如下: 将 \(Q\) 中元素用自然数编号成为
\[
q_1,q_2,\dots,q_n,\dots
\]
对任意一个 \(C \in S\), 作二进位小数 \(\psi(C)=0.t_1t_2\cdots t_n\cdots\), 其中当 \(q_n \in C\) 时, \(t_n=1\), 而 \(q_n \notin C\) 时, \(t_n=0,(n=1,2,\dots)\). 显然 \(\psi\) 是 \(S\) 到 \(B\) 上的一一对应. 因此, \(S\) 与 \(B\) 的势同为 \(\aleph\). 
\end{enumerate}
\end{proof}

\end{document}